Iván Area Carracedo
Delegado do reitor da Universidade de Vigo na Comisión Interuniversitaria de Galicia. Catedrático de Matemática Aplicada na Escola de Enxeñería Aeronáutica e do Espazo da Universidade de Vigo.
area [at] uvigo.gal (area[at]uvigo[dot]gal)
Manuel Calaza Cabanas
Xefe do Servizo de Avaliación do Sistema Educativo da Consellería de Educación, Ciencia, Universidades e Formación Profesional da Xunta de Galicia. Doutor en Matemáticas.
manuel.calaza [at] edu.xunta.gall (manuel[dot]calaza[at]edu[dot]xunta[dot]gall)

En calquera caso, e a pesar do esforzo realizado na elaboración dun marco común e de guías harmonizadas de corrección, os cambios introducidos pola LOMLOE implicaron diferenzas xa non entre distritos, senón no propio distrito ao termos que comparar alumnado que fixo exames co modelo pandemia (cunha altísima optatividade que permitía non estudar bloques enteiros das materias) co que o fixo co modelo actual, que elimina esa opción e ademais introduce os chamados exames competenciais. O cambio no modelo de exame derivado da entrada en vigor da LOMLOE, ou os cambios que comezaron a introducirse no ano 2025 por razóns máis específicas, e o feito de que a cualificación da fase xeral sexa válida para sempre e as cualificacións da fase voluntaria sexan válidas para tres cursos académicos fan que insistamos en que a estandarización non só é necesaria para o alumnado que cambia de distrito, senón que é esencial para o alumnado que compite no mesmo distrito con outras persoas que foron avaliadas de xeito(s) moi diferente(s).

Na análise da situación debemos ter en conta, como principio esencial (ou dereito fundamental, se se nos permite empregar este termo) respectar o chamado distrito único, o que significa que calquera estudante de calquera dos 17 distritos universitarios pode optar por comezar os seus estudos en calquera universidade pública do Estado de xeito competitivo en función da súa cualificación de ingreso. Por suposto, tamén debemos considerar na nosa proposta o alcance das competencias que cada unha das comunidades autónomas ten en materia de educación.

Antes de presentar a nosa formulación, consideramos conveniente ter en mente algunhas premisas. A cualificación de acceso á universidade dun estudante de bacharelato calcúlase coa media do seu expediente académico (60 % da nota final), a parte obrigatoria actualmente denominada PAU (40 % da nota final) e a ponderación dun máximo de dúas materias da denominada parte voluntaria que poden sumar outros catro puntos. En resposta ao argumento de ter unha selectividade única en todo o estado, débese ter en conta que a proba de selectividade representa o 40 % da cualificación fronte ao 60 % da nota media do ensino secundario. Neste sentido, un argumento esgrimido nas diferentes reunións de coordinación dos 17 distritos é que, se se propón unha única selectividade, tamén se debería suxerir o mesmo exame para cada unha das avaliacións de cada materia en toda España, cos mesmos criterios de corrección e garantindo o anonimato das persoas examinadas. Neste sentido, as críticas que se fan cada ano sobre a selectividade, cando un exercicio contén unha errata ou se observa un nivel máis alto do esperado, non se observan na mesma dimensión cando ocorre nos institutos e, como xa dixemos, esa parte ten un peso moito maior na cualificación da fase de acceso.

Este traballo foi presentado nas «IV Xornadas da CRUE sobre Acceso e Admisión ás Universidades Públicas Españolas» que tiveron lugar en Granada os días 4 e 5 de maio de 2023. Froito dos comentarios positivos que recibimos, preparamos esta nova versión onde incorporamos as preguntas que se formularon, así como as necesarias reflexións despois da entrada en vigor do Real decreto 534/2024, do 11 de xuño, polo que se regulan os requisitos de acceso ás ensinanzas universitarias oficiais de grao, as características básicas da proba de acceso e a normativa básica dos procedementos de admisión.

Esta proposta está en liña coa orde que publica cada ano o Ministerio de Universidades coa convocatoria dos «Premios Nacionais de Fin de Grao de Educación Universitaria». No artigo referente ao cálculo da cualificación media do expediente académico podemos ler:

A nota media de cada solicitante calculada segundo o indicado nos apartados anteriores ponderarase coa nota media da clase do centro onde se obtivo o título, nunha escala de 0 a 10, segundo a fórmula (Na^2)/Np, na que Na é igual á nota media do expediente do estudante e Np é a nota media da súa clase.

Desde o noso punto de vista, esta fórmula pode ser mellorada para o caso que nos ocupa como propoñemos neste traballo, usando non só a media senón tamén a desviación estándar. Nesta mesma liña, durante o interesante debate posterior á presentación, sinalouse a necesidade de publicar este método de cálculo de cualificacións no Boletín Oficial del Estado (BOE), co que estamos totalmente de acordo.

Máis aínda, desde hai moitos anos, a convocatoria de probas selectivas para prazas de formación sanitaria para as licenciaturas en Medicina, Farmacia, Enfermaría e no ámbito da Psicoloxía, Química e Física inclúe unha estandarización das cualificacións obtidas nas respectivas facultades. Na convocatoria para o ano 2023, a Orde SND/990/2023, do 17 de agosto (BOE núm. 202, do 24 de agosto), na súa epígrafe quinta «Valoración das probas selectivas», parágrafo segundo, detalla o seguinte xeito de cálculo para o expediente académico:

2. A avaliación dos méritos académicos realizarase de acordo coas seguintes regras:

a) Terase en conta o expediente académico medio que figure no certificado académico persoal, segundo se detalle na disposición segunda, parágrafo 2.5.b) desta orde. Esta puntuación final expresarase cos dous primeiros decimais e ignorarase o resto.

b) Unha vez que se avalíen os ficheiros académicos de todas as persoas que realizasen o exercicio e superasen a cualificación mínima, calcularase a media aritmética do dez por cento dos mellores expedientes académicos, arredondando o resultado con cinco decimais. A esta media aritmética corresponderanlle dez puntos. Calcularase un factor de corrección dividindo a media aritmética indicada anteriormente entre dez e expresarase o devandito factor cos primeiros once decimais e ignorarase o resto. Os factores de corrección para as diferentes cualificacións publicaranse na páxina web do Ministerio de Sanidade.

c) A puntuación final correspondente aos méritos académicos de cada persoa obterase multiplicando o expediente individual polo factor de corrección establecido na regra anterior. Esta puntuación expresarase cos catro primeiros decimais obtidos e ignorarase o resto.

d) A puntuación individual total que se lle recoñeza a cada persoa na proba obterase da suma da puntuación final do exercicio e a puntuación asignada a méritos académicos, expresada cos catro primeiros decimais, ignorando o resto.

Finalmente, e antes de entrar na proposta, consideramos necesario sinalar que, segundo a información verbal que nos chegou despois de elaborar este documento, unha proposta semellante xa fora publicada polo entón reitor da Universidade de Santiago de Compostela, o profesor doutor Carlos Pajares Vales (1984-1990). Unha proposta neste mesmo sentido tamén fora formulada polo profesor doutor Juan Manuel Molera Molera durante a reunión levada a cabo en León en setembro de 2022.

2. Unha formalización matemáticas do problema da admisión en distrito universitario único con varias probas diferentes

O proceso de admisión é esencialmente un proceso de comparación e ordenación dos valores dunha variable estatística cuantitativa continua nunha mostra poboacional, coa particularidade de que a mostra está formada por 17 distritos diferente e de que en cada un deles os valores da variable foron xerados en procesos que presentan diferenzas, razón pola cal existe unha heteroxeneidade subxacente na mostra.

Nun contexto científico de análise rigorosa de datos, a reunión sen máis dos datos xerados con 17 mecanismos similares (pero que se sabe que teñen diferenzas) e o seu posterior tratamento estatístico conxunto non é unha opción aceptable en ningún escenario posible. Antes de recoller os datos nunha única mostra, coma se se tratase dun único mecanismo común de xeración deses datos, é necesario tratar os datos para reducir na medida do posible a heteroxeneidade subxacente e, con isto, as diferenzas non desexadas que presentan as diferentes partes da mostra.

Para a corrección das heteroxeneidades en mostras construídas reunindo submostras de diferentes orixes non é estritamente necesario coñecer as causas de tal heteroxeneidade, nin ter un modelo matemático perfectamente definido que permita reducir a heteroxeneidade a practicamente nada. Existen técnicas sinxelas que permiten un procesamento rigoroso dos datos e que serían de aplicación no caso que nos ocupa: a admisión nun único distrito universitario con 17 probas diferentes.

3. A estandarización de variables estatísticas

Para poder comparar as puntuacións de dous suxeitos en distintas distribucións ou dun suxeito en distintas variables, utilízase a puntuación estandarizada baseada en puntualo en unidades de desviación estándar. A puntuación estandarizada (ou puntuación z) é unha nova variable estatística cunha media de cero e unha desviación estándar de 1. A estandarización permite obter datos independentes da unidade ou escala da variable orixinal x. A estandarización dunha variable x consiste en restar a media e dividir pola desviación estándar (da poboación ou da mostra). Asumindo que x é un valor observado dunha mostra con media a e desviación estándar s, o valor de x en unidades estandarizadas, representado por z , calcúlase simplemente mediante

Esta transformación linear da variable orixinal x en z conserva moitas das propiedades da variable x (como a simetría e a curtose). E para a cuestión que nos ocupa, a ordenación dos suxeitos de maior a menor segundo as variables x e z é idéntica. É dicir, se temos dúas cualificacións orixinais x₁ e x₂ tales que x₁ < x₂ e se denotamos por z₁ e z₂ as puntuacións estandarizadas, respectivamente, entón z₁ segue a ser menor que z₂.

Ademais, podemos asumir que as distribucións de frecuencias das cualificacións das probas en cada un dos 17 distritos están preto dunha distribución normal. No noso caso, asumindo a normalidade das distribucións das cualificacións das probas nos 17 distritos, todas as diferenzas entre eles, sexa cal sexa a súa orixe (currículo diferente, diferente nivel de esixencia dos exercicios, diferente nivel de esixencia no bacharelato), concéntranse estatisticamente en diferenzas ao nivel da media e da desviación típica de cada unha das distribucións que quedarían completamente anuladas despois de normalizar todas elas, o que permite as comparacións entre os valores da variable entre suxeitos de diferentes distritos.

A comparación directa entre as cualificacións estandarizadas de individuos de diferentes distritos que realizan diferentes exames de acceso á universidade é equivalente a supoñer que, dado un hipotético currículo común de bacharelato, un hipotético mesmo nivel de esixencia na titulación e cualificación do bacharelato e unha proba hipotética única de acceso á universidade, o desempeño do estudantado de cada un dos 17 distritos no seu conxunto sería equivalente poboacionalmente; é dicir, as distribucións das frecuencias das cualificacións serían equivalentes entre elas, seguindo unha distribución (case) normal, todas elas coa mesma media e desviación estándar. E, polo tanto, as diferenzas que se observan actualmente son en gran medida consecuencia das diferenzas nos niveis de requisito no bacharelato, no currículo e na dificultade das diferentes probas de acceso nos diferente territorios e non teñen unha incidencia na capacidade futura do alumnado dos diferentes distritos para ter un rendemento axeitado mentres cursa estudos universitarios nun territorio ou noutro.

No contexto actual de cambio no modelo de exame de acceso á universidade na que a opción dunha única proba totalmente idéntica parece practicamente descartada e o desenvolvemento dun marco de avaliación común para o exame de acceso á universidade apunta a unha estandarización parcial das probas deixa unha ampla marxe a que os niveis de dificultade das probas poidan ser substancialmente diferentes nos 17 territorios, cremos que é necesario, no marco dun único distrito e para garantir a equidade, a igualdade de oportunidades e unha xusta concorrencia competitiva, introducir un mecanismo corrector das cualificacións das persoas que soliciten o acceso a unha universidade pública nun distrito diferente do seu de orixe, ou ben en anos diferentes, baseado na estandarización das cualificacións.

4. Mecanismo de referenciado ao distrito de acollida das cualificacións cando se solicite acceso nun distrito ou ano diferente ao de orixe

O mecanismo que se presenta a continuación, a diferenza doutras opcións como a teoría de resposta ao ítem utilizada nos exames EJU para o acceso de estudantes estranxeiros ás universidades xaponesas, realiza as transformacións mínimas das cualificacións do alumnado nas 17 diferentes probas de acceso.

O mecanismo comeza establecendo os seguintes principios ou axiomas do algoritmo:

1. A decisión de se un ou unha estudante superou a proba de acceso á universidade depende unicamente da cualificación obtida nas probas realizadas no seu distrito universitario de orixe, coma actualmente.

2. A cualificación global dun ou dunha estudante na proba de acceso realizada no seu distrito de orixe calcularíase coma actualmente.

3. A xestión da admisión dun ou dunha estudante á universidade no seu distrito de orixe e ano realizaríase coma actualmente no ano en curso.

A única diferenza con respecto ao mecanismo actual que se propón é con respecto aos estudantes que solicitan acceso á universidade nun distrito diferente do distrito onde teñen realizada a proba de acceso ou, mesmo dentro do mesmo distrito, cando realizasen a proba en anos anteriores. Formalicemos de novo o problema nun escenario simplificado. Consideremos dous distritos (D1 e D2) con probas diferentes cuxas distribucións de frecuencia para as cualificacións (C1 e C2, respectivamente) son as que se mostran na figura 1.

Figura 1. Distribucións de frecuencias das cualificacións C1 e C2 de dous distritos estudantes universitarios D1 e D2 con probas diferentes.

Na distribución, vese que foi máis fácil obter unha cualificación de 5 ou máis no distrito D2 ca no D1, pero foi máis fácil obter unha cualificación de 9 ou máis no distrito D1 ca no D2. Tal e como se sinalou, podemos entender que D1 e D2 son dous distritos distintos no mesmo curso académico, que son o mesmo distrito en dous cursos académicos distintos ou, incluso, que son dous distritos académicos distintos en dous anos diferentes.

As dúas distribucións de cualificacións son estandarizables. Supoñamos que a₁ e a₂ son as medias das cualificacións C1 e C2, respectivamente, e que s₁ e s₂ son as súas respectivas desviacións estándar. Unha cualificación x₁ da distribución C1 estandarízase como xa indicamos mediante:

Este mecanismo é reversible e podemos recuperar x₁ sen máis que realizar o cálculo

Así defínese un mecanismo de ida e volta que permite trasladar unha cualificación da súa distribución orixinal á estandarizada e volver á distribución orixinal, como se mostra na figura 2:

Figura 2. Mecanismo de ida e volta entre unha distribución orixinal e unha distribución estandarizada. A distribución orixinal corresponde ao gráfico anterior D1 con cualificacións C1 de media a₁ e desviación estándar s₁. Representamos x₁ con as cualificacións orixinais deste distrito.

Se realizamos simultaneamente este procedemento nas distribucións das cualificacións C1 e C2, podemos definir un mecanismo de traslado das cualificacións dun estudante do distrito D1 ao distrito D2, respectando as características das dúas distribucións, C1 e C2, que supuxemos valores enteiros, a través do nexo común da N(0,1) compatible con ambas as distribucións estandarizadas do seguinte xeito: primeiro faise unha transformación directa usando a media a₁ e desviación s₁ de D1, e logo unha transformación inversa usando a media a₂ e desviación s₂ de D2, tal e como se mostra na figura 3.

Figura 3. Transformación directa usando a media a₁ e a desviación estándar s₁ da distribución no primeiro distrito D₁ seguida dunha transformación inversa usando a media a₂ e a desviación estándar s₂ da distribución no segundo distrito D2_.

En xeral, e sen máis suposición ca que as dúas distribucións estandarizadas sexan compatibles e ata certo punto equivalentes, podemos establecer o mecanismo desexado como se mostra na figura 4:

Figura 4. Proceso programable nunha única liña de código.

Polo tanto, se un ou unha estudante do distrito D1 coa nota x₁ na admisión á universidade no propio distrito D1 utilizará a cualificación x_1. Pero se o solicita desde D2 (que pode ser o mesmo distrito noutro ano, outro distrito no mesmo ano ou, incluso, outro distrito en ano diferente), entón ten que empregar

en lugar de x₁ . Esta é a fórmula final que tería que aplicarse aos estudantes que soliciten unha titulación nun distrito ou nun ano diferente ao seu.

Os únicos ingredientes necesarios serían:

1. A nota no seu distrito de orixe e ano.

2. A media e a desviación do seu distrito de orixe e ano (que se poderían incluír na credencial provisional e/ou definitiva).

3. A media e a desviación do distrito de acollida (que xa posúe esa información).

Esta proposta intenta minimizar a complexidade de fórmulas complexas. Para máis simplicidade, propón utilizar unha única transformación da nota (en caso de cambio de distrito e/ou ano) para a parte obrigatoria e aplicar o mesmo proceso a cada cualificación da parte voluntaria. Isto débese a que actualmente existen moitas variacións nas ponderacións da parte voluntaria. Se por erro se lle aplicasen as transformacións directa e inversa a un estudante que non cambiou de distrito, a nota resultante sería exactamente igual á orixinal:

5. Comparación con datos reais

Fixemos unha comparación de dous distritos universitarios na convocatoria de xuño do ano 2022 para ver como afectaría a proposta, por exemplo, á cualificación da fase xeral. Desde un punto de vista estatístico temos os seguintes valores:

Nos gráficos das distribucións das cualificacións que se mostran na figura 5 (á esquerda o distrito esquerdo D1 e á dereita no distrito dereito D2)_, podemos ver que hai unha diferenza significativa nos valores intermedios.

Figura 5. Gráficos de distribucións das cualificacións de dous distritos reais na convocatoria de xuño de 2022.

A gráfica da distribución das cualificacións do distrito 1 harmonizado co distrito 2 é o que se mostra na figura 6:

Figura 6. Distribución das cualificacións do distrito 1 harmonizado co distrito 2. Datos reais de dous distritos na convocatoria de xuño de 2022.

A conversión da cualificación da fase xeral dunha persoa do distrito 1 (á esquerda) ao distrito 2 (á dereita) é a seguinte. Neste caso as medias teñen por valores a₁ = 7,308592 e a₂ = 7,485941 e as desviacións son s₁=1,214713 e s₂=1,143074. A conversión faise simplemente coa seguinte fórmula que transforma a cualificación orixinal á cualificación normal N(0,1) desde o seu distrito e despois desfacer a transformación ao distrito 2:

Deste xeito, calculamos a transformación das cualificacións entre 5 puntos e 9,75 de 0,25 en 0,25 puntos do distrito 1 ao distrito 2, para obter:

5,00 → 5,3135

5,25 → 5,54876

5,50 → 5,78401

5,75 → 6,01927

6,00 → 6,25452

6,25 → 6,48978

6,50 → 6,72504

6,75 → 6,96029

7,00 → 7,19555

7,25 → 7,4308

7,50 → 7,66606

7,75 → 7,90132

8,00 → 8,13657

8,25 → 8,37183

8,50 → 8,60708

8,75 → 8,84234

9,00 → 9,0776

9,25 → 9,31285

9,50 → 9,54811

9,75 → 9,78336

De modo completamente simétrico, podemos calcular como se transforman as cualificacións do estudantado que se move desde o distrito 2 ao distrito 1 empregando a fórmula obtida na sección anterior

Mutatis mutandis calculamos as cualificacións entre 5 puntos e 9,75 de 0,25 en 0,25 puntos do distrito 2 ao distrito 1 e obtemos:

5,00 → 4,66685

5,25 → 4,93252

5,50 → 5,19819

5,75 → 5,46386

6,00 → 5,72952

6,25 → 5,99519

6,50 → 6,26086

6,75 → 6,52653

7,00 → 6,7922

7,25 → 7,05786

7,50 → 7,32353

7,75 → 7,5892

8,00 →7,85487

8,25 → 8,12054

8,50 → 8,3862

8,75 → 8,65187

9,00 →8,91754

9,25 → 9,18321

9,50 → 9,44888

9,75 → 9,71454

Ao aplicar as transformacións indicadas podería darse o caso de que, ao recalcular a cualificación dunha persoa, o novo valor superase o 10 ou fose inferior a 0 puntos. É por iso que o recálculo debe incluír a puntuación mínima entre a nova puntuación e 10 puntos e a puntuación máxima entre a nova puntuación e 0 puntos. Iso é moi simple de programar, pero non se mostrou por simplicidade na presentación.

Queremos sinalar unha cuestión moi importante en relación coa proposta. No fondo, estamos a asumir que as dúas distribucións estandarizadas son equivalentes, o que, pola súa vez, equivale a asumir que, unha vez eliminadas as heteroxeneidades que xeran diferentes probas e sistemas educativos lixeiramente diferentes, o alumnado dos 17 distritos ten un nivel de rendemento similar, en comparación cunha hipotética proba común. É dicir, a proposta podería compararse cunha proba virtual común nos 17 distritos, xa que estamos a eliminar diferenzas que non dependen da capacidade do alumnado en canto ao seu rendemento académico.

6. Vantaxes da proposta

As principais vantaxes da proposta son:

1. Realiza as modificacións mínimas sobre as cualificacións do estudantado, xa que quen solicite a admisión no mesmo distrito no que realizou a proba e no mesmo ano conserva intactas as súas cualificacións e só se alteran para aquelas persoas afectadas que soliciten a admisión nun distrito distinto ou nun ano diferente daquel no que realizaron a proba.

2. A proposta corrixe as heteroxeneidades entre as 17 distribucións de cualificacións derivadas das 17 probas diferentes sen necesidade de coñecer a orixe de tal heteroxeneidade (e, polo tanto, sen cuestionar a intencionalidade da existencia de tal heteroxeneidade).

3. A proposta resolve o problema de como ordenar dous suxeitos cunha cualificación case idéntica procedente de dous distritos diferentes con distribucións de cualificacións (moi, pouca ou algo) diferentes. No contexto actual, os decimais no acceso a algúns graos son extremadamente importantes. Como xa se indicou no exemplo gráfico anterior, é obvio que unha nota de 9 non é igual de valiosa no distrito D1 ca no distrito D2.

4. O mecanismo proposto é complementario e independente a todos os esforzos que se están a realizar actualmente para harmonizar os exames de acceso á universidade nos diferentes territorios, incluído o marco común de avaliación que se está a elaborar.

5. Minimiza o efecto da diferenza de dificultade obxectiva observada en ocasións entre probas da mesma materia en distintos distritos que non son froito de diferenzas curriculares de calado. Tamén minimiza o impacto das situacións relacionadas con problemas en calquera das probas nun distrito en relación co resto dos distritos.

6. É posible realizar comprobacións sobre datos dos últimos cursos académicos, o que permite comprobar o grao de equivalencia entre as diferentes distribucións estandarizadas e ao mesmo tempo realizar simulacións sobre os mesmos datos no relativo ás consecuencias do mecanismo proposto e analizar a redución obtida en fluxos innecesarios e/ou inxustificados de estudantes entre territorios .

7. Minimiza os problemas de ter que comparar cualificacións de diferentes anos mesmo dentro do mesmo distrito, xa que propón estandarizar as cualificacións dentro do mesmo distrito en diferentes anos, como se sinalou despois da presentación na conferencia de Granada.

8. A proposta formulada podería asimilarse a unha proba virtual común nos 17 distritos, xa que estamos a eliminar as diferenzas que non dependen da capacidade do alumnado no que se refire ao seu desempeño académico.

9. É un paso máis na harmonización que comezou no ano 2019 con cuestións tan importantes como ponderacións, modelos de exame ou calendario de chamamentos a matrícula.

Apéndice

Durante a quenda de preguntas posterior á presentación desta proposta nas «IV Xornadas CRUE sobre o acceso e admisión ás universidades públicas», que tiveron lugar en Granada do 4 ao 5 de maio de 2023, o vicerreitor adxunto de acceso á universidade da UNED fixo unha pregunta relacionada coas cualificacións medias dos estudantes estranxeiros que realizan as probas. Para este estudantado, despois de analizar os datos, a proposta de estandarización é empregar ben as medias dos 17 distritos ou ben as medias do alumnado que aprobou as probas da UNED.