Iván Area
IFCAE, Universidade de Vigo, Departamento de Matemática Aplicada II, E. E. Aeronáutica e do Espazo
area [at] uvigo.gal (area[at]uvigo[dot]gal)
Olga Patiño Abeixón
IES A Xunqueira II (Pontevedra)
olgha [at] edu.xunta.gal (olgha[at]edu[dot]xunta[dot]gal)

Introdución

O xogo é unha actividade esencial no desenvolvemento humano, especialmente na infancia. Lonxe de ser unha distracción ou un entretemento, o xogo é unha forma natural de aprendizaxe, como recoñecen múltiples autores clásicos e contemporáneos.

Jean Piaget considera o xogo como unha manifestación da intelixencia en desenvolvemento:

Play is one of the aspects of any activity... The prevalence of play among children is explained not by specific causes peculiar to the realm of play, but by the fact that the characteristics of all behaviours and all thought are less in equilibrium in the early stage of mental development than in the adult stage (1, p. 203).

O propio Piaget tamén distingue entre tipos de xogo segundo o estadio cognitivo: xogo de exercicio, simbólico e de regras, que evolucionan coa idade e o desenvolvemento mental.

Outro referente son os traballos de Lev Vigotsky, onde podemos ler: «In play, the child always behaves beyond his average age, above his daily behavior; in play it is as though he were a head taller than himself» [2, p. 102]. Un pouco máis adiante Vigotsky afirma:

«The greatest achievements of a child are possible in play, achievements that tomorrow will become her basic level of real action» (2, p. 103).

O xogo é, segundo Vygotsky, un escenario onde se activan as funcións mentais superiores, como a atención voluntaria, a memoria lóxica e a formación de conceptos.

Por suposto, os traballos de María Montessori tamén inflúen no noso día a día. Montessori considera o xogo como traballo serio para a infancia. Entre outros, destacamos «The child’s work is play. It is through play that the child learns to master his environment» (3, p. 67), onde engade: «The hand is the instrument of the mind. The child needs to manipulate, to touch, to build, to create» (3, p. 129).

A nosa interpretación de Montessori é que o xogo é a vía para a aprendizaxe autónoma, a disciplina interior e o desenvolvemento da intelixencia.

Xa para rematar as autoras e autores clásicos, temos que referenciar a Célestin Freinet: «El juego-trabajo es el motor de la energía vital del niño, que le permite dominar y vencer cualquier actividad que emprenda» (4, p. 112).

O xogo, para Freinet, é unha forma de traballo gozoso, creativo e cooperativo, que transforma a escola nun espazo de vida.

A investigación actual reforza estas ideas e da extensa bibliografía existente recollemos dúas referencias que consideramos especialmente interesantes. Segundo Ben Mardell et al. (5), no estudo A Pedagogy of Play da Universidade de Harvard: «Playful learning is not a break from learning; it is the way children learn best» (p. 12).

Xiaoyan Li e Marjaana Kangas (6), nunha revisión sistemática sobre aprendizaxe lúdica en primaria, conclúen que «playful learning comprises joyful, meaningful, iterative, socially interactive, and actively engaging experiences».

Estas referencias e referentes converxen nunha idea fundamental: o xogo é unha ferramenta pedagóxica poderosa, que favorece o desenvolvemento cognitivo, emocional e social. A súa integración na educación formal, especialmente en contextos como o que se presenta nesta comunicación, permite conectar coas motivacións do alumnado, fomentar a aprendizaxe significativa e cultivar competencias clave para a vida.

Zoltán Kodály, pedagogo e compositor húngaro, defendía que a educación musical debía comezar cedo e basearse na música que os nenos e nenas xa coñecían, especialmente a música tradicional do seu contorno. Segundo Kodály, «A zene mindenkié (a música perténcelle a todos)» (7, p. 31) e por iso propuxo que o canto popular fose o punto de partida para a aprendizaxe musical, pois «A népzene a nép zenei anyanyelve (a música popular é a lingua materna musical do pobo)».

Esta idea conecta directamente coa importancia de partir das experiencias significativas dos nenos e nenas, aquelas que forman parte do seu mundo cotián e emocional. Kodály insistía en que «a zenei nevelést kilenc hónappal a gyermek születése előtt kell elkezdeni (a educación musical debe comezar antes do nacemento e continuar durante toda a vida)».

Realmente chegou a afirmar incluso: «Kilenc hónappal az anya születése előtt (Nove meses antes do nacemento da nai)». Se ben non é literal na súa obra, si que se pode deducir que para este autor «o xogo musical é a forma máis natural de aprender» (8).

Este enfoque é perfectamente trasladable á aprendizaxe matemática, especialmente cando se parte de elementos que lles resultan familiares e atractivos. Por exemplo, a observación das órbitas solares pode converterse nunha oportunidade para introducir conceptos xeométricos como a elipse, que require aprender a debuxar e comprender as súas propiedades. Do mesmo xeito, as coleccións de cromos —tan presentes nas dinámicas sociais do patio escolar— permiten explorar problemas de probabilidade, como calcular cantos cromos non repetidos poden aparecer nun sobre ou estimar o número de sobres necesarios para completar unha colección. Estas actividades, como as que se desenvolven no obradoiro da ANPA A Ferradura, permiten que os nenos e nenas «veñan xogar» e, ao mesmo tempo, aprendan matemáticas de forma significativa, conectando coas súas emocións, intereses e linguaxes propias.

O obxectivo principal do presente traballo é presentar algunhas das actividades que fomos desenvolvendo de xeito altruísta cun grupo de nenas e nenos de primaria os venres pola tarde como unha opción máis ofertada pola ANPA A Ferradura do CEIP Pío XII de Santiago de Compostela. Pensamos que é un exemplo de práctica educativa baseada na aprendizaxe significativa, a exploración lúdica e a adaptación contextualizada aos intereses do alumnado. A súa popularidade, superior mesmo á de actividades deportivas, pode explicarse pola súa estrutura flexible e centrada no desenvolvemento integral das nenas e nenos, sen seguir un currículo pechado nin depender de materiais estandarizados. Esta aproximación conecta coa xa mencionada filosofía de Zoltán Kodály, quen defendía que a educación musical debía partir dos intereses e vivencias dos nenos e nenas, integrando o coñecemento de forma natural e contextualizada (9, p. 15). Pensamos que tamén inflúe de xeito importante que o grupo é de 13 nenas e nenos e que hai polo menos dúas persoas docentes na aula: un auténtico luxo comparado coa realidade nos centros de primaria.

Trátase dunha actividade que desenvolvemos nun centro público urbano, con tres liñas desde primeiro de infantil ata sexto de primaria, é dicir, cun total aproximado de 675 nenas e nenos, dos cales arredor de 450 son de primaria. A actividade chamada Xogos Matemáticos comezou en setembro de 2023 (curso 2023/24) cun grupo de 12 nenas e nenos de primeiro e segundo de primaria, que se mantén bastante estable, aínda que houbo algunha baixa e, polo tanto, algunha incorporación. No curso 2024/25 incrementamos unha praza, por solicitude da ANPA, e na actualidade o grupo está formado por 13 nenas e nenos de terceiro e cuarto de primaria.

Obviamente, ter que escoller entre os materiais traballados en todas as sesións sempre resulta complexo, por deixar fóra moitas que tamén poderían ser interesantes para as persoas lectoras. A escolla fíxose para presentar esta proposta no X Congreso de AGAPEMA na cidade de Lugo. A decisión que adoptamos foi a de considerar unha combinación entre o que nos gustaría que aprendesen e o que os atrae en cada momento concreto, tal e como detallaremos a continuación.

A metodoloxía empregada parte das curiosidades espontáneas do alumnado —modas, xogos do patio, celebracións do ciclo anual— como punto de inicio para construír propostas didácticas que inclúen xogos de grupo, manipulación de materiais, dinámicas creativas e saídas matemáticas. Esta estratexia responde á idea de que o xogo constitúe unha ferramenta poderosa para a aprendizaxe, tal como sinala Piaget (1, p. 159), quen considera que «o xogo é o traballo do neno» e que permite integrar coñecementos novos a través da acción e da experimentación.

A estrutura do grupo, formado por 13 nenas e nenos de terceiro e cuarto de primaria, permite traballar en equipos pequenos, favorecendo a colaboración, a axuda mutua e a aprendizaxe entre iguais, en consonancia co enfoque socioconstrutivista de Vygotsky (2, p. 86), que destaca o papel da interacción social no desenvolvemento cognitivo. A rotación de participantes e a evolución do grupo ao longo dos cursos manteñen a esencia da actividade: un espazo para pensar, rir, probar e crear desde o mundo matemático, sen perder de vista que as matemáticas tamén poden ser un xogo.

Ademais desta actividade na que participa un grupo reducido de nenas e nenos, tentamos dinamizar o centro con outro tipo de accións. En novembro de 2024 propuxemos un reto de Nadal para todo o alumnado de primaria, con distintos niveis de dificultade, no que participaron 75 nenas e nenos. No ano 2025 fixemos outra proposta de reto matemático que tamén tivo moitísima acollida, con números de participantes algo superiores aos do ano 2024.

A orixe da proposta foi unha actividade deseñada para traballar a suma e a resta con «levadas» a partir de fotografías de cans con diferentes razas e pesos. A proposta combinaba lectura, manipulación, comparación de números e cálculo, integrando o uso do ábaco de fichas extraíbles para introducir o concepto de «levar». Esta práctica permite superar a abstracción do algoritmo tradicional mediante unha representación concreta e visual, tal como recomenda Bruner (10, p. 44) na súa teoría dos modos de representación. A actividade tamén evidenciaba a importancia de contextualizar os contidos matemáticos en situacións significativas para o alumnado, favorecendo a comprensión e a transferencia do traballado e aprendido.

Algunhas premisas

1. A actividade desenvólvese en galego

Nun momento no que non se permite a docencia de matemáticas en galego, consideramos especialmente relevante o seu uso nesta actividade, como xeito de normalización no ámbito científico. Ademais, a utilización do galego como lingua vehicular contribúe a visibilizar o chamado currículo oculto, é dicir, aqueles valores e saberes que se transmiten de forma implícita na práctica educativa, como apunta Michael Apple (11, p. 13).

2. Fomentar o traballo en equipo

O traballo en equipo é unha das competencias clave no marco da educación para o século XXI. A colaboración entre iguais permite desenvolver habilidades sociais, comunicativas e de resolución de conflitos, ademais de favorecer a aprendizaxe significativa. Como sinalan David W. Johnson e mais Roger T. Johnson (12, p. 68), a aprendizaxe cooperativa mellora o rendemento académico e promove relacións interpersoais positivas. Nun contexto extraescolar, esta dinámica adquire especial relevancia ao permitir que o alumnado experimente formas de interacción menos condicionadas pola estrutura formal da aula.

3. Fomentar a colaboración fronte á competitividade

A educación tradicional adoita promover dinámicas competitivas que, en moitos casos, xeran ansiedade e dificultan a aprendizaxe. En contraposición, a colaboración fomenta o apoio mutuo, a empatía e a construción compartida do coñecemento. Segundo Robert E. Slavin (13, p. 23), os ambientes cooperativos favorecen a motivación intrínseca e reducen as desigualdades no rendemento. Esta orientación é especialmente importante en idades temperás, onde o desenvolvemento emocional está estreitamente ligado á percepción do grupo e á autoestima.

4. Evitar a rixidez do ámbito académico

A flexibilidade metodolóxica é unha condición necesaria para atender á diversidade e favorecer a participación activa do alumnado. Nunha actividade extraescolar, esta flexibilidade permite adaptar os contidos aos intereses e ritmos das nenas e nenos participantes, promovendo unha aprendizaxe máis autónoma e creativa. Como sinala Ken Robinson (14, p. 112), a educación debe favorecer a exploración e a curiosidade, evitando modelos estandarizados que limiten o potencial individual.

5. Darlles toda a atención que merecen, escoitar as súas ocorrencias e acompañar os seus procesos

A atención personalizada e a escoita activa son elementos centrais na construción dun vínculo educativo positivo. A pedagoxía da afectividade, tal como a define Rafael Bisquerra (15, p. 47), implica recoñecer as emocións do alumnado, acompañar os seus procesos e crear espazos seguros para a expresión e o crecemento. Esta dimensión é especialmente relevante en actividades extraescolares, onde o marco relacional permite unha interacción máis horizontal e próxima.

Actividades escollidas

Tal e como sinalamos, podemos categorizar as distintas actividades que realizamos en dous grandes bloques: aquelas cuestións que son do seu interese inmediato e outras que para nós son importantes ben desde o punto de vista particular ou como visión xeral de como afrontar problemas, moitas delas co ciclo do ano como protagonista nas dúas categorías.

Dentro da primeira categoría, podemos citar, entre outras moitas opcións:

1. O problema de armar un cubo de Rubik, que estivo de moda durante un tempo na escola.

2. Analizar o problema de coleccionar cromos, que todos os anos ten distintos momentos nos que se interesan por esta cuestión.

3. Inventar unha Eurocopa de fútbol empregando dados, sempre cun mapa diante, pois unha das nosas premisas é que as matemáticas non son algo illado, senón que están relacionadas con outras moitas disciplinas.

4. Xogar a Cifras e Letras adaptado ás súas idades.

5. Unir puntos, xogo orixinalmente proposto por Édouard Lucas  (creador tamén entre outras xoias das Torres de Hanói, ás que tamén xogaron) e sobre o que fixemos unha serie de variacións para ver como adaptaban as súas estratexias.

E dentro da segunda categoría, queremos salientar

6. Cubo Soma, que podemos definir como unha combinación dun Tetris tridimensional co Tangram, curiosamente co mesmo número de pezas ca o Tetris e o Tangram (7 pezas).

7. Distintos xogos de mesa con diferentes finalidades: desde Fundir a Frota, ata Código Secreto 13+4, pasando por NoNiNú ou A Morada Maldita.

8. Xogo xusto, que nos permitiu analizar un concepto tan importante como o da probabilidade e facer unha árbore de casos.

9. Seccións cónicas, que xurdiron no momento que no currículo tiñan que estudar os nomes e as órbitas dos planetas, e que nos conduciu a levar un cono de Apolonio.

10. Lonxitudes e áreas, con consecuencias tan importantes no futuro como a necesidade de dar as unidades nos resultados, e que no caso dos triángulos tivo formulacións moi interesantes que despois detallaremos.

Deseguido analizaremos estas actividades, insistindo en que durante todo este tempo fixemos outras moitas, pero por limitacións de espazo e tempo tivemos que escoller. Unha especialmente divertida que non detallaremos foi unha variación do xogo das cadeiras con números primos: podían sentar cando un de nós dicía un número primo e perdían se sentaban cando o número non era primo.

Antes de comezar con algúns detalles desas dez actividades, consideramos importante falar das primeiras actividades que fixemos coas nenas e nenos: uso de dados, dianas e regretas de Cuisenaire, como proposta pedagóxica que tenta integrar elementos manipulativos e lúdicos para o desenvolvemento de competencias matemáticas e socioafectivas en educación primaria. A súa implementación durante o comezo das sesións dos dous primeiros cursos buscaba promover a aprendizaxe activa, a interacción social e a atención á dimensión emocional do alumnado, aspectos cada vez máis recoñecidos como fundamentais na educación contemporánea como afirma Rafael Bisquerra (15, p. 45).

O uso de dados en diferentes formatos —de puntos, de números, con rangos variados e repeticións— permite traballar o cálculo mental, a composición numérica e a introdución progresiva da multiplicación, todo dentro dun contexto de xogo. Esta metodoloxía responde ao principio de aprendizaxe incidental, segundo o cal os contidos se integran de forma natural na actividade sen que o alumnado sexa plenamente consciente do proceso formal, tal e como sinala Bruner (10, p. 44). A medida que os xogos evolucionan, os dados deixan de ser simples elementos aleatorios para convertérense en ferramentas de exploración matemática.

A diana, empregada como rutina de inicio, cumpre unha función clave na dimensión socioafectiva da actividade. O feito de que os adultos se presenten como «diana» e posteriormente sexan os propios nenos e nenas os que asuman ese rol favorece a identificación emocional, a confianza mutua e a participación activa. Segundo Vygotsky (2), a interacción social é esencial para o desenvolvemento cognitivo e actividades como esta permiten que o alumnado se sinta parte dun grupo, recoñecido e valorado (p. 86). Ademais, os lanzamentos por equipos, a anotación compartida e a variación nas distancias e alturas introducen elementos de estratexia, coordinación motora e traballo colaborativo, que contribúen ao desenvolvemento integral.

As regretas de Cuisenaire, pola súa natureza manipulativa e visual, son especialmente eficaces para traballar a composición e descomposición do número, así como conceptos máis avanzados que foron explicados en casos particulares por preguntas do alumnado: mínimo común múltiplo ou raíz cadrada, adaptados ao seu nivel. A potencialidade das regretas como recurso didáctico foi amplamente estudada e destaca a súa capacidade para facilitar a comprensión de estruturas numéricas e relacións matemáticas, como apunta Caleb Gattegno (16, p. 27). O uso das regretas tamén permite introducir o concepto de simetría, traballar o cálculo de áreas e realizar carreiras de cálculo, actividades que combinan pensamento matemático e acción física, favorecendo a aprendizaxe multisensorial.

1. Cubo de Rubik

Aprender a armar o cubo de Rubik clásico —o famoso quebracabezas tridimensional de seis cores e 54 pezas visibles— é moito máis ca un simple pasatempo: é unha actividade que desenvolve múltiples habilidades cognitivas e motoras. En primeiro lugar, require unha destreza psicomotriz fina, xa que o movemento preciso e coordinado dos dedos é esencial para xirar as caras do cubo con axilidade e control. Esta práctica favorece a coordinación óculo-manual e mellora a motricidade fina, especialmente na infancia.

Ademais, o cubo de Rubik é unha excelente ferramenta para traballar a visualización espacial e a xeometría tridimensional. Ao intentar resolver o cubo, a xogadora ou xogador debe imaxinar como os movementos afectan a posición das pezas en tres dimensións, anticipando secuencias e consecuencias. Isto implica un exercicio constante de rotación mental, análise de padróns e comprensión de simetrías, habilidades fundamentais para o pensamento matemático e científico. A complexidade do cubo é tal que existen 43 252 003 274 489 856 000 combinacións posibles (corenta e tres trillóns douscentos cincuenta e dous mil tres billóns douscentos setenta e catro mil catrocentos oitenta e nove millóns oitocentos cincuenta e seis mil), mais só unha delas é a solución correcta.

Image

Figura 1.1. Cubo de Rubik sen armar. Fonte: Wikipedia.

 

O cubo está composto por 26 pezas móbiles: 8 vértices (ou esquinas), que teñen tres cores cada un; 12 arestas, con dúas cores; e 6 centros, que só teñen unha cor e permanecen fixos entre si, marcando a posición de cada cara. Comprender esta estrutura é esencial para resolver o cubo, especialmente cando se emprega o método por capas, que consiste en completar primeiro unha cruz nunha cara, logo os vértices desa capa, despois a segunda capa e finalmente a terceira.

Este método require levar a cabo procedementos e algoritmos específicos, o que axuda a desenvolver a capacidade de seguir instrucións complexas e a manter a concentración durante varias fases de resolución. Nunha sociedade na que todo tende a ser inmediato, e na que moitos nenos e nenas están afeitos a obter respostas e resultados ao instante, o cubo de Rubik convértese nun excelente exercicio de paciencia, perseveranza e tolerancia á frustración, valores fundamentais para o desenvolvemento persoal e académico.

O cubo de Rubik foi inventado en 1974 polo arquitecto e profesor húngaro Ernő Rubik, quen inicialmente o concibiu como unha ferramenta para ensinar conceptos de xeometría tridimensional. Non foi ata 1980 cando se comezou a comercializar internacionalmente, converténdose axiña nun fenómeno global. Durante os anos oitenta, o cubo acadou unha popularidade masiva, con millóns de unidades vendidas en todo o mundo. Aínda que a súa presenza nos medios diminuíu durante un tempo, o cubo experimentou reviviscencias periódicas, especialmente coa aparición de comunidades en liña, competicións oficiais (World Cube Association) e o fenómeno do speedcubing, que lle deron nova vida e o consolidaron como un clásico atemporal do xogo e da aprendizaxe.

Aproveitando un momento no que o cubo comezaba a estar presente no patio da escola, e no que moitas nenas e nenos non sabían como armalo, decidimos facer varias sesións para aprender a armar o cubo. No proceso de aprendizaxe do cubo de Rubik aplicamos o método de Lancaster, unha estratexia pedagóxica baseada na ensinanza mutua, desenvolvida polo educador británico Joseph Lancaster a comezos do século XIX. Este método, tamén coñecido como sistema monitorial, consiste en que as nenas e nenos máis avanzados actúen como monitores dos seus compañeiros, axudándoos a progresar no seu propio proceso de aprendizaxe. No noso caso, as nenas e nenos que xa sabían resolver a primeira cara do cubo colaboraban cos que aínda non o conseguiran, explicando os pasos, corrixindo erros e ofrecendo apoio.

Esta dinámica non só favorece a aprendizaxe entre iguais, senón que tamén reforza o coñecemento de quen ensina, fomenta a responsabilidade compartida e crea un ambiente de cooperación e respecto mutuo. A eficacia deste método foi amplamente recoñecida historicamente, especialmente en contextos con poucos recursos, e segue a ser unha ferramenta valiosa para a educación contemporánea. Cómpre sinalar que, alén deste método clásico, algunhas nenas e nenos aprenderon a resolver o cubo por outras vías, especialmente co obxectivo de mellorar o tempo de resolución. Estas técnicas, coñecidas como speedcubing, inclúen métodos máis avanzados como CFOP, Roux ou ZZ, que permiten resolver o cubo en poucos segundos. Tamén hai quen se especializa en variantes do cubo de Rubik, como o 2x2, 4x4, 5x5, o Pyraminx ou o Megaminx, cada un con desafíos xeométricos e lóxicos propios. En calquera caso, o cubo de Rubik segue a ser unha ferramenta poderosa para o desenvolvemento intelectual e a aprendizaxe lúdica.

Con posterioridade, e fóra das actividades, ofrecéronse en Nadal sesións de conciliación para que nenas e nenos fosen á tenda de xogos EscondiT de Santiago de Compostela aprender a armar o cubo de Rubik. O diñeiro recadado foi destinado á Obra Social Pediatría.

 

Image

Figura 1.2. Cubos de Rubik para a actividade.

 

2. Coleccións de cromos

Todos os anos, sen excepción, hai un momento no que as coleccións de cromos —especialmente as de fútbol— volven ocupar os recreos, os petos e as conversas do alumnado. Ás veces tamén aparecen coleccións de animais, dinosauros ou personaxes de moda, pero sempre baixo a lóxica dun negocio ben deseñado para as grandes editoriais. Aproveitando esta febre coleccionista, decidimos introducir unha actividade de estatística experimental que permitise reflexionar sobre o proceso de completar unha colección e, ao tempo, facer visible o custo económico que supón para as familias.

Inspirámonos no coñecido problema do coleccionista, un clásico da teoría de probabilidades, pero adaptado á realidade do alumnado. Utilizamos un xogo de bingo con 50 bólas numeradas, que simulaba a fábrica de sobres de cromos. Cada sobre contiña 4 bólas extraídas ao azar (con reposición) e o alumnado tiña que rexistrar os números que lle saían, anotando cales eran novos e cales repetidos. A medida que avanzaban as extraccións, observaban como cada vez era máis difícil conseguir os «nopis» que lles faltaban, mentres o número de repetidos medraba sen parar.

A actividade, ademais de divertida, permitía visualizar a evolución dunha colección incompleta e introducir conceptos como frecuencia, probabilidade e rendemento económico.

Image

Figura 2.1. Listaxe para seguir os cromos que temos.

Image

Figura 2.2. Listaxe para seguir o número de cromos «nopis» en cada extracción, numeradas de 1 a 60.

Image

Figura 2.3. Listaxe para seguir o número de cromos repetidos en cada extracción, numeradas de 1 a 60.

 

Casualmente, para completar a colección faltaba un cromo, o número 47. Por moitas extraccións que se facían, non saía ese cromo. Co acordo da clase, decidimos facer extraccións sen substitución e a casualidade levou a que a bóla 47 fose a última en saír.

Este tipo de propostas son especialmente valiosas nun contexto no que moitas nenas e nenos están afeitos a obter resultados inmediatos. Vivimos nunha sociedade que premia a rapidez e a gratificación instantánea, e iso tamén se reflicte nas aulas. O cubo de Rubik, os xogos de lóxica ou actividades como esta dos cromos son excelentes exercicios de paciencia, perseveranza e tolerancia á frustración, valores que cómpre cultivar desde a escola.

Durante a actividade, observamos tamén como moitos nenos e nenas partían de preconceptos erróneos sobre o azar e a repetición. Por exemplo, pensaban que «se xa saíu o 17, non pode volver saír» ou que «se me faltan poucos, seguro que me saen axiña». Estas ideas, aínda que intuitivas, entran en conflito co funcionamento real da probabilidade con reposición e son un exemplo claro do que a literatura educativa denomina concepcións alternativas ou ideas previas erróneas.

Como sinala Jaime Carrascosa Alís (2005) (17), estas ideas «constitúen un obstáculo importante para a aprendizaxe dos coñecementos científicos» (p. 2). Se non se traballan de forma explícita, os estudantes poden manter estas crenzas mesmo despois de recibir explicacións formais. A investigación didáctica leva décadas sinalando a importancia de detectar e abordar estas concepcións alternativas. No noso caso, a actividade cos cromos permitía que o alumnado confrontase os seus erros de forma vivencial, a través da observación directa e do rexistro de datos reais.

3. Eurocopa de fútbol

En xuño de 2024 comezou unha nova edición da Eurocopa de fútbol. Posto que bastantes das nenas e nenos están interesados nese deporte, decidimos organizar unha versión da Eurocopa empregando dados.

Para iso collemos un dos calendarios que había e levámolo á clase, xunto cun mapa de Europa.

Image

Figura 3.1. Eurocopa de fútbol empregando dados.

 

Primeiro explicamos como era o procedemento: unha primeira fase de grupos (do grupo A ata o grupo F) e posteriormente escolleríanse os dous primeiros de cada grupo para a rolda de dezaseisavos de final e, pouco a pouco, ir avanzando ata a final.

Repartimos os países entre as nenas e nenos asistentes e estivemos un tempo localizando os países no mapa de Europa. Noutras actividades previas fixemos tarefas relacionadas co número de quilómetros que percorren distintos equipos dunha liga de baloncesto ao faceren os desprazamentos (que implica sempre a multiplicación por dous), tamén coa idea de localizar nese caso cidades nun mapa.

Na fase de grupos, para cada partido cada nena ou neno lanzaba dous dados e comparaban a suma para decidir quen gañaba, quen perdía ou se había empate. Empregamos dados con dez caras numeradas. Coma na Eurocopa real, cada partido gañado eran tres puntos e cada partido empatado era un punto. Unha vez que soubemos que equipos pasaban á fase dos dezaseisavos de final, fixemos os emparellamentos seguindo exactamente as regras da Eurocopa, que levou a analizar que pasaba nos casos de empates. Isto era importante para que aprendesen a seguir normas e regulamentos.

Na fase de dezaseisavos complicamos un pouco o xogo, pois agora tiñan que lanzar tres dados cada nena ou neno. Na fase de oitavos de final, subimos a catro dados cada nena ou neno e así sucesivamente. Como se pode ver na figura 3.1, o noso experimento non coincidiu coa realidade.

4. Cifras e Letras

Un dos xogos que máis lles gusta é unha versión adaptada de Cifras e Letras. Trátase dunha proposta educativa que combina lingua e cálculo mental nun formato lúdico e cooperativo. Inspirada no clásico concurso televisivo, esta versión escolar permite traballar competencias clave como a formación de palabras, o recoñecemento ortográfico, a composición numérica e a estratexia de resolución, todo nun ambiente de xogo e colaboración.

A actividade está pensada para realizala en grupo e cada sesión comeza cun sorteo que determina quen será a parella encargada de presentar o xogo, quen formará parte dos tres equipos participantes e quen se ocupará de anotar os puntos e verificar as solucións. Despois de cada unha das «cifras» ou «letras» sempre se fai unha revisión para que todos vexan solucións diferentes.

Image

Figura 4.1. Aula preparada para xogar a Cifras e Letras.

 

A dinámica das «letras» consiste en formar a palabra máis longa posible a partir dun conxunto de letras escollidas ao azar, mentres que na parte das «cifras» os equipos deben chegar a un número obxectivo utilizando operacións básicas (suma, resta, multiplicación e división) con números dados. Para facer a actividade máis significativa e contextualizada, as palabras e os números están vinculados ao ciclo do ano escolar: por exemplo, durante o Samaín, as letras poden formar palabras como «pantasma» ou «cabaza» e os números poden estar relacionados con contos de medo ou elementos decorativos; no Nadal, as palabras poden ser «agasallo», «árbore» ou «estrela», e os números poden referirse a cantidades de luces ou días de vacacións.

Esta actividade fomenta a participación activa, a colaboración entre iguais e a toma de decisións compartida, xa que os equipos deben discutir e consensuar as súas propostas antes de presentalas. Ademais, o feito de que haxa roles rotatorios —presentadoras, anotadoras, participantes— permite que todo o alumnado experimente diferentes responsabilidades e desenvolva habilidades comunicativas, organizativas e sociais. A parte de «cifras» tamén introduce elementos de estratexia, xa que os equipos deben decidir que operacións usar e en que orde, o que favorece o pensamento flexible e a planificación.

5. Unir puntos

O xogo Timbiriche, tamén coñecido como Dots and boxes en inglés ou Pipopipette no seu nome orixinal, é un clásico dos xogos de lapis e papel que combina simplicidade formal con profundidade estratéxica. Foi presentado por primeira vez en 1889 polo matemático francés Édouard Lucas, o mesmo que ideou as célebres Torres de Hanói, e que dedicou parte da súa obra á creación de xogos recreativos con base matemática. Timbiriche consiste en ir unindo puntos dispostos en forma de grella, trazando liñas horizontais ou verticais, co obxectivo de pechar cadrados. Cada vez que un xogador ou xogadora completa un cadrado, márcao co seu símbolo ou inicial e gaña un punto. O xogo continúa ata que se completan todos os cadrados posibles e vence quen teña máis. Nas nosas actividades dos venres, tamén xogamos ás Torres de Hanói.

A aparente sinxeleza do xogo agocha unha rica estrutura matemática. Segundo a teoría de xogos, Timbiriche é un xogo simétrico, secuencial, de suma cero e de información perfecta, o que significa que todos os xogadores teñen acceso á mesma información e que cada movemento pode ser analizado estratexicamente. A clave para gañar reside en evitar completar o terceiro lado dun cadrado, xa que iso lle permite ao rival pechalo e sumar puntos. A medida que o taboleiro se enche, aparecen cadeas de cadrados, e saber cando e como activalas pode marcar a diferenza entre gañar ou perder. Esta dinámica favorece o desenvolvemento do pensamento estratéxico, a anticipación de movementos e a visualización espacial, habilidades fundamentais tanto en matemáticas como en resolución de problemas.

Image

Figura 5.1. Taboleiro para xogar ao Timbireche.

 

Curiosamente, o nome Timbiriche foi adoptado por un grupo musical infantil mexicano fundado en 1981, como resposta ao grupo español Parchís, que tamén tomaba o seu nome dun xogo de mesa. A elección do nome non foi casual: pretendía evocar a idea de xogo, infancia e intelixencia, valores que o grupo quería transmitir a través da súa música.

Despois de varias roldas, as nosas nenas e nenos xa tiñan distintas estratexias para tentar gañar, polo que fomos reformulando o xogo para ver como se adaptaban ás novas regras. Unha primeira variación foi lanzar un dado cada vez que pechaban unha casa e anotar o valor, de xeito que ao final non se trata de contar o número de casas pechadas por cada participante, senón de sumar os puntos de cadaquén. Unha segunda variación, tamén con dados, foi a de lanzar dous dados para multiplicar o resultado e anotar o valor na casa; novamente, nesta variación non se conta o número de casas, senón a suma de puntos de cada participante. Estas dúas variacións eliminan parcialmente as estratexias e teñen xa unha compoñente de azar.

Máis recentemente aínda fixemos outras variacións baseadas en empregar o ciclo do ano para colocar distintos deseños no taboleiro con puntos preasignados, como se mostra na figura 5.2.

Image

Figura 5.2. Variación do xogo. Ao pechar cada unha das casas con deseños hai uns puntos coñecidos de antemán.

 

Image

Figura 5.3. Xogo Timbireche.

 

6. Cubo Soma

O cubo Soma é un dos xogos máis fascinantes para traballar a xeometría tridimensional, a visualización espacial e a resolución de problemas. Inventado polo matemático e poeta danés Piet Hein en 1933, durante unha conferencia sobre mecánica cuántica impartida por Werner Heisenberg, este quebracabezas mecánico está formado por sete pezas distintas, construídas a partir de cubos unidos en ángulos rectos. A tarefa principal consiste en reconstruír un cubo de 3x3x3 utilizando esas sete pezas, pero tamén se poden formar moitas outras figuras tridimensionais, o que o converte nun recurso versátil e estimulante para a aula. É posible descargar en Internet as instrucións orixinais do xogo e tamén hai versións modernas deste con distintos retos de dificultade crecente.

Parecido a un Tetris tridimensional, o cubo Soma comparte con este e co Tangram a idea de traballar cun número limitado de pezas para formar múltiples figuras. A diferenza está en que o Soma é tridimensional, mentres que o Tangram é plano (2D). Esta característica permite que o alumnado desenvolva habilidades de rotación mental, composición volumétrica e percepción espacial, fundamentais para a comprensión da xeometría. No noso caso, optamos por construír as sete pezas con policubos, o que lle engade unha dimensión manipulativa e creativa á actividade. Ao facelo, os nenos e nenas aprenden a distinguir as sete pezas, a identificar os seus volumes e a recoñecer as súas formas mediante códigos de cores, o que facilita a súa clasificación e uso.

Image

Figura 6.1. As sete pezas do cubo Soma feitas con policubos.

Un dos aspectos máis interesantes do traballo co cubo Soma é que permite introducir a idea de representacións múltiples dun mesmo obxecto. Aproveitamos as pezas para que o alumnado comprendese que a planta, o alzado e o perfil dunha figura tridimensional non sempre son suficientes para determinar a súa forma completa. Esta reflexión é clave para entender a limitación das representacións bidimensionais e para desenvolver unha visión máis rica e precisa da xeometría no espazo. Ademais, o xogo pode ser abordado desde diferentes enfoques: como reto libre, como construción guiada con pistas ou como actividade de investigación matemática.

O cubo Soma tamén permite traballar a estratexia e a planificación, xa que, para resolver o cubo completo, é necesario pensar en como encaixar as pezas, anticipar os pasos e probar diferentes combinacións. A resolución non é inmediata e iso convértese nun excelente exercicio de paciencia e perseveranza, especialmente valioso nun contexto educativo no que moitas veces se busca a resposta rápida. A súa relación co pensamento matemático é profunda: detrás da aparente sinxeleza das pezas hai unha complexidade combinatoria que pode ser explorada desde a teoría de grafos, a combinatoria ou a topoloxía, disciplinas que tamén lle interesaron a Piet Hein ao longo da súa carreira.

Image

Figura 6.2. Materiais para analizar as distintas perspectivas de cada unha das pezas do cubo Soma.

Para nós, o cubo Soma é moito máis ca un xogo: é unha ferramenta pedagóxica que permite traballar contidos matemáticos de forma manipulativa, creativa e significativa.

Image

Figura 6.3. Algúns obxectos propostos nas instrucións orixinais do xogo.

7. Distintos xogos de mesa

En distintas sesións xogamos a xogos de mesa que consideramos interesantes por distintos motivos. Explicamos algúns dos xogos e motivos para traballar con eles:

1. Fundir a Frota: o xogo coñecido como Fundir a Frota (ou Battleship en inglés) é unha ferramenta pedagóxica moi valiosa para introducir e consolidar o uso das coordenadas cartesianas no contexto escolar. Ao situar barcos nunha grella numerada, o alumnado aprende a identificar posicións mediante pares ordenados (por exemplo, B4 ou E7), o que reforza a comprensión da estrutura bidimensional do plano. Esta actividade permite traballar de forma lúdica conceptos como eixe horizontal (x) e eixe vertical (y), a orientación espacial, e a lectura e escritura de coordenadas, todo nun contexto motivador que favorece a implicación activa.

Ademais, fomenta o razoamento lóxico, a estratexia e a memoria espacial, xa que os xogadores deben lembrar onde xa dispararon (nunha primeira versión podemos xogar anotando os disparos e posteriormente sen anotalos), deducir padróns de colocación e planificar os seus movementos. A interacción entre pares tamén favorece a comunicación matemática, ao ter que verbalizar coordenadas e interpretar as dos demais. Nunha etapa na que moitas nenas e nenos teñen dificultades para comprender o plano cartesiano como unha representación abstracta, este xogo ofrece unha experiencia concreta e significativa, que pode ser ampliada posteriormente a contextos máis formais, como gráficos, mapas ou xeometría analítica. Neste xogo tentamos traballar algo tan importante como o sistema de coordenadas e tamén distintas estratexias para localizar a situación dos barcos da outra persoa. Pode resultar sorprendente como, faltando un barco de 4 unidades de lonxitude, algúns nenos van dicindo todas as casas do opoñente sen ter en conta, xustamente, a lonxitude do barco que teñen que localizar.

2. Código Secreto 13+4: este xogo é unha boa ferramenta para traballar o cálculo mental, a composición de operacións e a toma de decisións estratéxicas. A dinámica consiste en avanzar por un camiño de casas numeradas, resolvendo operacións matemáticas que permitan seguir avanzando, sacrificando os dados que empreguemos para o resultado da casa. Para iso, o alumnado debe combinar os números dispoñibles inicialmente mediante sumas e restas e posteriormente tamén con multiplicacións ou divisións, o que favorece a fluidez de cálculo, a flexibilidade operativa e a comprensión das propiedades das operacións. A mecánica do xogo permite que cada xogador elixa entre diferentes camiños posibles, o que introduce un elemento de estratexia: decidir que ruta é máis eficiente ou segura segundo os números que se teñen e os obxectivos que se presentan.

Esta toma de decisións nas bifurcacións do taboleiro é especialmente valiosa desde o punto de vista didáctico, xa que obriga o alumnado a avaliar opcións, anticipar consecuencias e xustificar eleccións, habilidades fundamentais tanto en matemáticas coma na vida cotiá. Ademais, o xogo permite traballar en grupo, favorecendo a discusión sobre os procedementos e o razoamento detrás de cada movemento. A súa estrutura modular e visual facilita a adaptación a diferentes niveis educativos, podendo simplificarse ou complexificarse segundo o nivel de dominio das operacións básicas. Nas nosas actividades, xogamos minimizando a competición, permitindo ás veces que sexan necesarias para que todos os grupos cheguen ao final e analizando distintas estratexias para avanzar, entre todos os grupos.

3. NoNiNú: este xogo é moi interesante para unha cuestión fundamental na matemática: aprender a negar. En distintos momentos da súa formación académica terán que negar «para todo» ou «existe polo menos un». Coñecemos poucos xogos que permitan traballar estas cuestións e fixemos variantes para eliminar a presión temporal competitiva do xogo.

A negación é unha operación fundamental no pensamento matemático e lóxico, pero tamén unha das máis difíciles de adquirir correctamente. Negar implica comprender o que non é, o que non cumpre unha condición e iso require unha capacidade de análise e abstracción que non sempre se desenvolve de forma espontánea. En contextos como a definición de figuras xeométricas, a resolución de problemas ou a formulación de hipóteses, saber negar correctamente permite delimitar conceptos, xustificar argumentos e evitar erros de interpretación. Como sinalan Carmen Samper e Claudia Vargas (18), o uso da negación en tarefas de definición e argumentación matemática pode xerar dificultades importantes, pero tamén é unha oportunidade para fortalecer o razoamento dos estudantes se se traballa de forma adecuada.

O xogo está deseñado precisamente para traballar a negación de forma lúdica. Baseado no famoso test de (John Ridley) Stroop (19), este xogo desafía os participantes a identificar cartas que non coincidan nin en cor, nin en palabra, nin en número. A mecánica obriga a aplicar regras de exclusión e control inhibitorio, activando procesos cognitivos relacionados coa flexibilidade mental, a atención selectiva e a memoria de traballo. Ao ter que buscar o que non encaixa, os xogadores practican a negación de forma natural, divertida e significativa. Esta aprendizaxe pode ser trasladada ao ámbito matemático, onde negar correctamente é esencial para definir con precisión, resolver problemas e argumentar con rigor.

Segundo a nosa experiencia, é un xogo moi esixente e non convén que estean máis de 15 minutos con el. Iso si, é altamente recomendable.

4. A Morada Maldita: o xogo A Morada Maldita é unha proposta excelente para traballar a aprendizaxe de formas xeométricas, elementos visuais e procura de padróns no contexto escolar. A mecánica do xogo consiste en identificar, entre as figuras dispostas no centro da mesa, aquelas que coinciden coas características indicadas nas cartas de obxectivo individual. Esta tarefa activa procesos de percepción visual, análise de atributos xeométricos (como número de lados, simetría, cor, tamaño ou orientación), e fomenta a flexibilidade cognitiva e a planificación de tarefas, tal como se destaca na súa ficha educativa.

Con todo, unha pequena crítica que se lle pode facer ao deseño do xogo é que non incorpora a negación como parte explícita da tarefa, é dicir, non se lle pide ao alumnado que identifique figuras que non cumpran certas condicións. Esta ausencia limita a oportunidade de traballar unha das operacións lóxicas máis importantes no pensamento matemático: saber que algo non é ou que non pertence a un conxunto dado. Incorporar esta dimensión ao xogo —por exemplo, mediante cartas que indiquen «busca unha figura que non sexa vermella e non teña máis de 4 lados»— podería enriquecer aínda máis a experiencia didáctica e favorecer o desenvolvemento do razoamento lóxico. En calquera caso, esa parte xa se traballa no xogo Noninú.

8. Xogo Xusto

Outra actividade que pensamos que resultou moi interesante foi a chamada Xogo Xusto. Esta actividade está baseada nunha das probas de acceso ao ESTALMAT. Mentres que alí a proposta é abstracta, nós preparamos unha versión manipulativa da actividade.

Un xogo é xusto cando tes tantas probabilidades de gañar coma de perder.

Como podedes ver na figura 8.1, na proposta de xogo temos cinco bólas numeradas do 2 ata o 5. Primeiro aprenderon/repasaron o que son números pares e impares, tamén en inglés que ten unha boa regra para lembrar cales son cales (odd ten tres letras, mentres que even ten catro). O xogo consiste en extraer dúas bólas dunha bolsa e sumar as cantidades. Gañaban se o valor da suma era un número par e perdían se o valor da suma era un número impar. Cada vez que sacaban dúas bólas, anotaban o resultado (ganar/perder) e devolvían as dúas bólas á bolsa para a seguinte extracción.

Image

Figura 8.1. Explicacións de como tiñan que proceder na actividade de Xogos Xustos. Cada parella tiña unha bolsa coas bólas con esa numeración, para facer a actividade manipulativa.

Tiñan que facer 15 extraccións (con devolución) e ir anotando os resultados, por parellas. Na figura 8.2 pódese ver como estaba o material para anotar. Finalmente tiñan que anotar o número de veces que gañaban e o número de veces que perdían. Intencionadamente estaba preparado para que fixesen o que fixeron.

Image

Figura 8.2. Espazo para seguimento das 15 extraccións. Cada vez que sacaban dúas bólas tiñan que sumar o resultado e simplemente marcar se gañaban (G) ou perdían (P).

A cuestión é que está pensado para que perdan, pois cos números que estaban escritos nas bólas (do 2 ata o 5) é máis probable perder (suma número impar) que gañar (suma número par). Pero son nenos e... son competitivos... e houbo algún caso que dixo que gañara as 15 veces! Despois explicámoslles como saber todas as posibles combinacións, ver cales eran os casos favorables e deste xeito saber que o xogo proposto non era xusto (e eles recoñecer que fixeran trampas).

9. Seccións cónicas

Seguindo o currículo oficial, en distintos momentos da súa formación teñen que estudar os planetas do sistema solar, así como os movementos dos planetas sobre si mesmos e arredor do Sol. Aproveitando un deses momentos, nunha sesión aprenderon a debuxar unha circunferencia no taboleiro, para o que empregamos unha corda e unha ventosa. Un por un, todas/os pasaron polo taboleiro para, coa axuda dun rotulador, ir debuxando circunferencias. Mentres debuxaban as circunferencias, aproveitamos para insistir na definición de circunferencia como lugar xeométrico dos puntos que equidistan dun punto fixo chamado centro, cunha linguaxe próxima ao alumnado.

O feito de empregar a corda para fixar distintos radios permitía insistir nesa cuestión tan importante: a equidistancia de todos os puntos da circunferencia ao centro. Posteriormente, e unha vez que se lle preguntou ao alumnado como eran as traxectorias que describían os planetas arredor do Sol, observamos que a maioría tiña un preconcepto erróneo (convén ler o traballo de Silvia Mónica del Puerto, Claudia Lilia Minnaard e Silvia Alejandra Seminara [20]): pensaban que as órbitas eran circulares. Ao revisar os libros de texto puidemos observar que ese preconcepto erróneo viña derivado dos deseños que aparecen nos seus libros. Explicamos que realmente as órbitas non son circunferencias senón elipses, que son outro tipo de curvas: aquelas nas que a suma das distancias a dous puntos fixos chamados focos é constante. Novamente empregamos o taboleiro, agora con dúas ventosas, para que todas as nenas e nenos pasasen a trazar distintas elipses, con diferentes valores da constante e separación dos focos. Este xeito de proceder permitiulles intuír e despois explicar que, se os dous focos eran coincidentes, entón a elipse se convertía nunha circunferencia.

Image

Figura 9.1. Alumna debuxando unha circunferencia no taboleiro. Decembro de 2024.

As matemáticas permítennos ver o mundo doutra maneira: como un lugar cheo de formas que se poden clasificar, comparar e usar. Cando traballamos coas nenas e nenos da actividade de Xogos Matemáticos e, en xeral, con alumnado desas idades, esta capacidade de clasificar é unha ferramenta moi poderosa, como defendía a profesora Maria Antònia Canals (21). A clasificación axuda a poñer orde no pensamento, a ver padróns e a comprender mellor o que nos rodea.

Con estas premisas decidimos abordar un problema moi clásico: as seccións cónicas. No século III a. C., o matemático grego Apolonio de Perga estudou as formas que se obteñen ao cortar un cono cun plano. A estas curvas chamoulles seccións cónicas e son catro: a circunferencia, a elipse, a parábola e a hipérbole. Para o noso alumnado, un cono é algo doado de presentar como un cucurucho de xeado ou para as castañas, dependendo da época do ano na que se faga a experiencia. Segundo como fagamos o corte do plano co cono, obtemos diferentes curvas, pero só saen catro: a circunferencia, a elipse, a parábola e a hipérbole.

Para un mellor aproveitamento da clase, levamos un cono de Apolonio (de Perga) á aula para que todo o alumnado poida manipulalo e ver as seccións. Coma sempre na nosa práctica, a primeira parte é deixar que manipulen e inventen calquera xogo coas pezas que se obteñen coas seccións cónicas. É máis tarde cando comeza a seguinte fase: aprenderon a identificar cada unha destas curvas. Posteriormente, cada neno puido debuxar o que considerou, tal e como se pode ver na figura 9.2.

As curvas que obtemos ao seccionar o cono poden parecer moi distintas, pero todas están relacionadas co mesmo obxecto tridimensional: o cono. Isto axúdalle ao alumnado a practicar a observación e a comparación, e a entender que as formas poden transformarse segundo como as miremos. Poder recoñecelas e nomealas é un paso moi importante no pensamento matemático.

• Se cortamos o cono en horizontal, obtemos unha circunferencia.

• Se o corte é inclinado, pero non chega ao fondo, temos unha elipse.

• Se o plano é paralelo ao lado do cono, aparece unha parábola.

• E se o plano corta os dous lados do cono, sae unha hipérbole.

Estas clasificacións permítenlles aos nenos e nenas descubrir que as formas poden explicarse e que detrás das súas diferenzas hai unha estrutura común. É como un xogo de detectives da xeometría.

Obviamente hai moito máis que se podería dicir, pero para o alumnado da actividade de Xogos Matemáticos consideramos que foi máis que suficiente. Non entramos na Sagrada Familia de Antoni Gaudí, non teñen base para falarlles dos elementos de Euclides e doutras xeometrías e, por suposto, aínda non é o momento de falar da teoría da relatividade.  

Image

Figura 9.2. Representacións das seccións cónicas e debuxo libre cunha casa hiperbólica.

10. Lonxitudes e áreas

Desde tempos antigos, a humanidade precisou medir para construír, cultivar, comerciar e organizar a vida social. As primeiras unidades de medida xurdiron de forma espontánea, baseadas no corpo humano: o palmo, o pé, o cúbito (do cotobelo á punta do dedo medio), ou o paso eran padróns accesibles e intuitivos, aínda que variables entre individuos e culturas. Estas medidas antropométricas foron empregadas por civilizacións como a exipcia, a romana ou a grega, e mesmo persisten en contextos modernos como a aviación (o «pé» como unidade de altura). Estudos como o de Roope Kaaronen et al. (22) documentan o uso destas medidas en máis de 180 culturas, e destacan a súa funcionalidade e adaptación ergonómica aos obxectos e tarefas da vida cotiá.

O sistema métrico decimal, creado durante a Revolución Francesa e formalizado na Convención do Metro de 1875, representou unha ruptura con esta tradición. Baseado en constantes naturais (como naquela altura a definición do metro en termos do meridiano terrestre), pretendía establecer unha racionalidade universal, mais impuxo unha abstracción que descoñecía a diversidade cultural e funcional das medidas tradicionais.

Cando se lle pide a un neno ou nena que mida algo sen especificar como, o máis habitual é que recorra ao seu propio corpo como referencia: usa palmos, pés, pasos ou mesmo obxectos familiares como un lapis ou unha man. Esta tendencia responde a unha aprendizaxe intuitiva e corporal, onde medir é comparar co que se coñece e se ten á man. Traballos como o de Agustina Narváez (23) describen como os nenos, nos seus primeiros achegamentos á medida, utilizan a vista para comparar obxectos e, posteriormente, partes do corpo como mans, pés ou brazos para realizar medicións. Por exemplo, poden dicir «a porta mide 4 mans» ou «a mesa mide 5 pasos». Só máis adiante, ao reflexionar sobre a utilidade e precisión, comezan a comprender e empregar unidades convencionais como o metro ou o centímetro.

Un dos problemas que persisten no tempo é que comprendan a necesidade de dar as unidades de medida cando resolven tarefas. Neste sentido fixemos un experimento solicitándolles ás nenas e nenos que medisen a aula: longo, ancho, perímetro. Os resultados eran moi dispares con valores que variaban desde 20 ata 80 para o longo. Ao non indicarnos que sistema empregaran para medir (a maioría, pés ou pasos), pedímoslle a un neno que medira en pasos, que tiña que facer correndo, a aula de longo contando os 80 que dixera outro compañeiro, que medira en pés. Obviamente non foi quen e chegou á parede. Foi aí cando toda a clase comprendeu a necesidade de dar as unidades empregadas para que outra persoa poida repetir o experimento.

Para que entendesen aínda máis a importancia desta cuestión, explicóuselles, nunha linguaxe entendible para elas e eles, o sucedido coa perda da Mars Climate Orbiter en Marte en 1999, debido a unha confusión entre o sistema métrico internacional (quilómetros) e o sistema de unidades estadounidense (millas). Este erro ocorreu porque unha empresa externa utilizou libras por segundo en lugar de newtons por segundo nos cálculos de propulsión, mentres que o control terrestre da NASA utilizou o sistema métrico.

Unha vez que entenderon a importancia das unidades nas medidas de lonxitude, e reforzamos a idea de perímetro, decidimos avanzar ao cálculo de áreas. Para isto empregamos regretas, que teñen medida normalizada de 1x1x1 centímetro, que utilizamos para medir cantas desas regretas unitarias eran necesarias para cubrir un cadrado de 2x2 e un cadrado de 3x3, impresas sobre un papel. As nenas e nenos contaban o número de regretas necesarias e axiña deduciron a fórmula da área dun cadrado. Tamén fixemos experimentos con rectángulos e foron quen de deducir a fórmula da área dun rectángulo. Con esas fórmulas, analizamos canta herba necesitabamos para un campo de fútbol: primeiro vimos cales eran as medidas aproximadas dun campo de fútbol profesional e despois calculamos a área da superficie sobre a que queriamos plantar herba, cun prezo estimado (realista) por metro cadrado. E xogando con regretas temos dun xeito natural que o volume se mide en cubos, desmontando aquela falacia dos caldeiros, que non foi máis que o comezo das fake news que hoxe temos case por todas as partes.

Un seguinte nivel foi especialmente interesante: o cálculo da área dun triángulo calquera. Normalmente a fórmula da área do triángulo demóstrase para triángulos rectángulos sen máis que duplicar o triángulo e observar que así teñen un rectángulo. Esta técnica de resolución de problemas (reducir o problema a outro coñecido) foi a que empregamos, pero cunha diferenza importantísima: a nosa demostración de que a área do triángulo é base por altura dividido por dous fixémola para calquera triángulo.

A experiencia tivo distintos pasos. En primeiro lugar, pedímoslles ás nenas e nenos que calculasen a área dun triángulo debuxado nun papel coa axuda das regretas. Observaron que non podían facer igual ca antes e que había veces que as regretas cubrían máis e outras cubrían menos ca o triángulo. Houbo casos de nenas e nenos que falaron de aproximar por exceso e por defecto a área do triángulo empregando regretas, cunha idea comparable ás sumas de Riemann para o cálculo de integrais definidas.

Posteriormente, cada nena e cada neno debuxou un triángulo nun papel e recortouno. Había triángulos rectángulos, acutángulos, obtusángulos, equiláteros, isósceles e tamén escalenos. Ademais, aprenderon que a medida, por exemplo, dunha altura empregaba a proxección ortogonal: o ángulo do metro co chan tiña que ser de 90º (noutras sesións previas traballamos os conceptos de ángulos e a súa clasificación).

Cada nena e neno dobrou o triángulo pola metade, levando o vértice superior ata o lado oposto, e comprobou que a altura que tiñan quedaba dividida por dous. Despois dobrou os outros dous vértices ata o lugar onde estaba o primeiro vértice xa dobrado e observou que o triángulo quedaba convertido nun rectángulo, e xusto para o rectángulo si que sabían calcular a área. Ao observaren que o rectángulo tiña de altura a metade da altura inicial do triángulo e de base a metade da base do triángulo inicial deduciron a fórmula xeral da área dun triángulo para calquera triángulo.

Ademais, ao ir facendo as dobreces do triángulo, puideron observar de xeito inmediato que a suma dos ángulos dun triángulo sempre é igual a dous ángulos rectos, é dicir, a 180 graos. Esta demostración da fórmula da área e da suma dos ángulos dun triángulo está tomada dos excelentes materiais de Miguel de Guzmán, grazas a unha comunicación co profesor Amílcar Branquinho da Universidade de Coimbra (antigo director do Projeto Delfos).

Image

Figura 10.1. Traballo con regretas para a obtención da fórmula da área dun cadrado e dun rectángulo. Xaneiro de 2025.

Conclusións

A experiencia presentada demostra que o xogo pode ser unha ferramenta poderosa para a aprendizaxe matemática, especialmente cando se adapta aos intereses e curiosidades do alumnado. A metodoloxía empregada favorece a aprendizaxe colaborativa, a afectividade e a comprensión profunda dos conceptos matemáticos, integrando saberes do currículo oculto e promovendo unha educación significativa.

Agradecementos

Queremos darlles as grazas a todas as persoas que axudaron a elaborar este traballo e, por suposto, ás nenas e nenos da actividade e ás súas familias. Tamén ás distintas persoas que fixeron unha lectura previa e nos remitiron propostas de mellora.